Dans la traduction française des IFRS pour PME, au paragraphe 11.6 e, il y a une erreur.  En effet, la version originale anglaise dit, en substance: "les engagements à recevoir un prêt si l'engagement peut être réglé en trésorerie".  La version française dit textuellement: "les engagements à recevoir un prêt si l'engagement ne peut pas être réglé en trésorerie".  Il s'agit clairement d'une erreur, puisque le paragraphe 11.5 g dit exactement la même chose, dans les deux versions.  En effet, d'une part, le paragraphe 11.5 présente des exemples d'instruments financiers respectant normalement les conditions d'application du paragraphe 11.8 et, d'autre part, le paragraphe 11.6 présente des exemples d'instruments financiers ne respectant normalement pas les conditions d'application du paragraphe 11.8.  Et l'alinéa 11.8 c ii dit en substance que: "Une entité doit comptabiliser en instruments financiers de base selon la Section 11 un engagement de recevoir un prêt qui ne peut pas faire l'objet d'un règlement net en trésorerie."  A la lumière de ce qui précède, on pourrait même se demander si la formulation suivante ne serait pas préférable pour le paragraphe 11.6 e: "les engagements à recevoir un prêt si l'engagement doit être réglé en trésorerie".  En effet, le contraire de "ne peut pas" est plutôt "doit" que "peut", parce qu'il est possible qu'un engagement qui peut être réglé en trésorerie soit réglé autrement quand même.  Mais il faudrait alors changer la version anglaise aussi.

En Occident, les entreprises de fabrication ont été progressivement remplacées par des entreprises de distribution.  En comptabilité de gestion, on concentre nos efforts sur la production d'états des coûts de fabrication.  Évidemment la distribution comporte aussi des coûts et des inducteurs de coût, tout comme n'importe quelle autre activité de l'entreprise, en l'occurrence une activité créatrice de valeur dont il vaut la peine de contrôler les coûts.  Ainsi, un état des coûts de distribution aurait avantage à être produit, ce qui semble évident.  Veuillez m'excuser si cela n'était même pas digne de mention pour cette raison, ce qui expliquerait pourquoi ce n'est pour ainsi dire jamais mentionné.

Effet et écart de levier financier

Les deux notions sont proches, évidemment, et reliées d'une façon intuitive, mais les formules correspondantes sont difficiles à manier et à se remémorer. Voici une capsule éducative qui devrait fournir une aide pour la manipulation et la mémorisation de ces formules.
Pour simplifier, supposons qu'il n'existe qu'une seule forme de financement, la dette à long terme. L'argumentation est applicable à toutes les formes de financement, dont il suffit de calculer séparément l'effet de levier financier pour enfin obtenir l'effet de levier financier total en additionnant l'effet de levier financier pour chacune des formes de financement.
De façon générale, les deux notions sont reliées ainsi:

Effet de levier financier = (Dette à long terme / Avoir des actionnaires) * Écart de levier financier

Pour simplifier, appelons “Effet” l'effet de levier financier, “Écart” l'écart de levier financier, “Avoir” l'avoir des actionnaires et représentons la dette à long terme par l'abréviation DLT.
L'écart de levier financier est calculé par une expression relativement simple, après avoir défini quelques termes qui s'y retrouvent. Représentons le bénéfice net par l'abréviation “BN”, les intérêts par l'abréviation “INT” et le taux d'imposition par “TI”. Ainsi, l'écart de levier financier est défini par la formule suivante:

{[BN + (1 – TI)*INT] / Actif} – {[(1 – TI) * INT] / DLT} = Écart

Ainsi, l'écart de levier financier est l'écart entre le rendement que les actionnaires de la société obtiendraient sur l'actif de cette dernière si le financement de la société était gratuit, d'une part, et, d'autre part, le coût après impôt du financement qu'ils obtiennent en réalité, la dette à long terme de la société dans le cas à l'étude.

On sait que Effet = (DLT / Avoir) * Écart. Nous allons démontrer que l'effet de levier financier est donné par la formule suivante:

(BN / Avoir) - {[BN + (1 – TI)*INT] / Actif} = Effet

Ainsi, l'effet de levier financier serait donné par l'écart entre le rendement sur l'avoir que les actionnaires de la société obtiennent en réalité, d'une part, et, d'autre part, le rendement qu'ils obtiendraient sur l'actif de la société si le financement de la société était gratuit, le financement en question étant la dette à long terme de la société dans le cas à l'étude.

Pour démontrer qu'il s'agit bien du résultat du calcul (DLT / Avoir) * Écart, nous allons poser X = {[BN + (1 – TI)*INT] / Actif} et vérifier que :

(DLT / Avoir) * (X – {[(1 – TI) * INT] / DLT}) = (BN / Avoir) - X

En isolant X, on peut vérifier que X = {[BN + (1 – TI)*INT] / Actif}.

En effet, dans le cas à l'étude, Actif = DLT + Avoir, puisque DLT est le seul financement.

J'ai entrepris récemment l'étude de plusieurs applications de la recherche opérationnelle à la finance corporative. La recherche opérationnelle est un outil très puissant pour l'analyse des décisions tactiques en finance corporative. Bien que ces dernières décisions, considérées isolément, aient une importance relative moins grande que les décisions stratégiques, elles sont beaucoup plus fréquentes que ces dernières, de sorte qu'elles occupent en fait la plus grande proportion du temps des gestionnaires financiers.

Si vous avez des problèmes de formulation de programmes linéaires à me soumettre, vous êtes les bienvenus. Je viens d'en résoudre une panoplie et je me sens d'attaque. Les problèmes de production et de finance corporative m'intéressent particulièrement.

En fin de semaine dernière, j’ai étudié l’analyse des correspondances pour continuer sur ma lancée en exploration de données statistiques. Cette méthode est une application intéressante de l’algèbre linéaire. Cette méthode est vraiment intéressante et doit déjà être utilisée en marketing pour des analyses de segmentation de marché. J’ai inventé ou réinventé une façon d’obtenir une fonction en escalier en utilisant des variables indicatrices. J’ai aussi parcouru le Web à la recherche d’articles portant sur l’estimation de modèles linéaires par morceaux. Les plus intéressants portent sur la régression convexe. Il me reste encore à étudier mes trouvailles.

Au début de cette semaine, j’ai reçu deux mises-à-jour annuelles, une en comptabilité financière et une en fiscalité. Les manuels correspondants sont dans des cartables à anneaux. La mise-à-jour en comptabilité financière pour cette année ne prendra pas beaucoup de temps à insérer dans le cartable correspondant ; il faut tout remplacer ! Cela pour vous dire que mes projets d’estimation statistique seront peut être ralentis par la nécessité d’étudier ces manuels, qui contiendront cependant matière à élaboration concernant certains calculs. J’ai bien l’intention de vous faire part de mes observations à ce sujet, comme je l’ai fait et comme je prévois continuer à le faire en ce qui concerne l’estimation des courbes d’expérience.

(J'ai dû refaire un peu la mise en page du texte suivant, certains exposants dans Word n'apparaissant pas comme tels sous XHTML à cause d'un problème d'interprétation par l'éditeur de code XHTML.) Les personnes à qui j'ai fait parvenir mon entrée m'ont demandé d'élaborer un peu. Voilà...

Qu'est-ce qu'un nuage de points?

Il s'agit d'un problème d'exploration préliminaire des données, qui peut servir à déterminer quel modèle statistique servira à expliquer la variation d'une variable, disons y, à partir de celle d'une autre, disons x. On cherche dans ce cas à faire passer à travers un nuage de points la courbe qui tient compte de toute l'information contenue dans l'échantillon. En fait, il faut construire un intervalle de confiance autour de cette courbe pour que dans un pourcentage prédéterminé des cas, le plus souvent 95%, la vraie valeur s'y trouve. Mais pour appliquer les méthodes courantes de régression, il faut d'abord spécifier le modèle auquel on a affaire, c'est-à-dire présumer de la forme fonctionnelle de la relation qui fait varier y en fonction de x. Le plus souvent, on a plusieurs variables x_1, x₂, …, x_m qui ont une incidence sur la variable y. On choisit le plus souvent un modèle linéaire, du type y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_mx_m + e où les lettres a₀,a₁,a₂,…, a_m représentent le vecteur des m paramètres à estimer, les lettres y, x_1, x₂, …, x_m représentent des vecteurs de n observations sur les variables et e représente un vecteur de n erreurs d’estimation distribuées selon une loi normale. On peut aussi choisir un modèle multiplicatif, du type y = a₀* x_1^a₁ * x_2^a₂ * … * x_m^a_m * exp(e) où exp(e) représente un vecteur de n erreurs d’estimation distribuées selon une loi normale. Ce dernier modèle a l’avantage de se linéariser en lui appliquant la fonction logarithme (naturel) : ln(y) = ln(a₀) + a₁* ln(x₁) + a₂ * ln(x₂) + … + a_m * ln(x_m) + e, un modèle linéaire en logarithmes. (Je crois que e est lui aussi distribué selon une loi normale si exp(e) l'est.) Il suffit donc d’appliquer à tous les vecteurs d’observations la fonction logarithme pour pouvoir utiliser les méthodes de la régression linéaire pour estimer les paramètres, ce qui nous donne le vecteur des paramètres a₀,a₁,a₂,…, a_m du modèle multiplicatif initial. Mais bien que les courbes correspondantes soient très différentes, il peut être difficile de déterminer à priori quel modèle utiliser seulement en examinant des graphiques des nuages de points. C'est la raison pour laquelle je me suis intéressé au problème du traçage des courbes, en tant qu'étape préliminaire à l'analyse statistique comme telle. En effet, je me disais que si je réussissais à construire une courbe linéaire par morceaux à partir du nuage de points, je pourrais mieux choisir le modèle d'estimation statistique à utiliser. En effet, il existe une panoplie de formes fonctionnelles possibles. Par exemple, il existe un modèle hybride qui permet de définir une forme fonctionnelle intermédiaire entre le modèle linéaire et le modèle multiplicatif, le modèle de Box-Cox, qui applique à chaque variable transformée la transformation (x^λ-1)/λ. En effet, quand λ=1, il s'agit du modèle linéaire et quand λ tend vers 0, (x^λ-1)/λ tend vers ln(x), ce qui donne le modèle multiplicatif. J'ai déjà démontré il y a longtemps que la moyenne de variables à laquelle on a appliqué une transformation de Box-Cox tend vers la moyenne géométrique lorsque λ tend vers 0. Cette transformation permet donc de définir un concept de moyenne généralisée. Il s'agit d'une transformation très intéressante, mais qui exige l'utilisation de méthodes de régresssion non linéaire lorsque l'on veut estimer la valeur de λ. Il vaut donc mieux pouvoir identifier une forme fonctionnelle appropriée à partir de la théorie que l'expérience statistique doit permettre de mettre à l'épreuve ou encore à partir de l'observation des données, ce qu'une méthode de traçage de courbes devrait permettre de faciliter. Malheureusement, cela ne semble pas être facile. Le problème est d'utiliser au mieux toute l'information contenue dans les données. C’est ce que j’essaie encore de faire.

Et pourquoi cet intérêt pour les courbes d'apprentissage?

Parce que ces courbes sont utilisées dans l'estimation des coûts de production, notamment, et que leurs propriétés mathématiques sont intéressantes à explorer. Il s'agit d'un modèle assez simple, défini par l'équation y = a * x^b où y est la moyenne cumulative du nombre d'heures de main d'oeuvre directe par unité produite, a est le nombre d'heures de main d'oeuvre directe pour la première unité produite, x est le nombre cumulatif d'unités produites et b est un paramètre à estimer ou à calculer à partir d’une hypothèse sur la forme de la courbe, un peu comme on peut fixer λ à priori lorsqu’on applique une transformation de Box-Cox à une variable, dans un autre contexte. Ainsi, le nombre cumulatif d'heures de main d'oeuvre directe est donné par x * y, ou a * x^(b+1), ce qui donne comme nombre marginal d'heures de main d'oeuvre directe la dérivée de cette dernière fonction, soit a * (b+1) * x^b. Il est facile de remarquer que la division du nombre marginal d'heures de main d'oeuvre directe par la moyenne cumulative du nombre d'heures de main d'oeuvre directe par unité produite donne une constante, (b+1). On verra que b<0, ce qui veut dire que (b+1)< 1 et donc que le résultat de la division précédente veut dire que la dérivée de la fonction correspondant au nombre cumulatif d'heures de main d'oeuvre directe est toujours inférieure à la moyenne de cette fonction. Ainsi, la courbe d’apprentissage serait une asymptote tendant vers zéro à l’infini. En pratique, cela veut plutôt dire que le paramètre b de cette courbe doit être réestimé périodiquement, puisqu’il n’est certainement pas vrai que l’on peut réduire indéfiniment le temps requis pour accomplir une tâche, contrairement à ce que certains patrons semblent croire ou veulent laisser croire.

Heureusement, le paramètre b de cette courbe est assez facile à estimer à partir de l’équation de la moyenne cumulative du nombre d'heures de main d'oeuvre directe par unité, y = a * x^b. En effet, si on a deux points (x₁,y₁) et (x₂,y₂) sur cette courbe, alors il suffit de transformer l’équation précédente en lui appliquant la fonction logarithme (naturel) et d’y remplacer x et y par leurs valeurs connues, soit ln(y₁) = ln(a) + b ln(x₁) et ln(y₂) = ln(a) + b ln(x₂) pour obtenir enfin, en soustrayant la première équation de la seconde, l’équation suivante : b = ln(y₂/y₁)/ ln(x₂/x₁), toujours une valeur négative lorsque (x₁,y₁) précède (x₂,y₂) sur la courbe d’apprentissage. En pratique, il existe des tables de valeurs unitaires construites selon le principe d’une amélioration (réduction) de y₂ par un facteur f par rapport à y₁ lorsque x₂ double par rapport à x₁. Ainsi, si y₂/y₁= 80% et si x₂/x₁ = 2, des valeurs correspondant à une réduction de la moyenne cumulative du nombre d'heures de main d'oeuvre directe par unité produite de 80% lorsque le nombre d’unités produites double, on obtient b = ln(0,8)/ ln(2) = -0,3219 et on peut trouver a à partir de b en utilisant ou bien a = y₁/ x₁^b ou bien a = y₂/ x₂^b. On pourrait en principe simplifier les calculs en utilisant les logarithmes à base 2 pour calculer b, puisque ln(f)/ ln(2) = log₂(f). Ainsi, on pourrait calculer directement b = log₂(f). Puisque f < 1, on a que log₂(f) < 0 et donc que b < 0. On peut donc écrire l’équation de la courbe d’apprentissage, qui donne la moyenne cumulative du nombre d'heures de main d'oeuvre directe par unité produite y = a * x^b où b = log₂(f) < 0 et f ε ]0,1[ est la réduction de la moyenne cumulative du nombre d'heures de main d'oeuvre directe par unité produite lorsque le nombre d’unités produites double.

Aujourd'hui, j'ai entrepris deux projets, un pour définir une nouvelle façon de tracer des courbes à partir d'un nuage de points et un autre pour calculer des courbes d'apprentissage d'une façon différente de celle que j'ai étudiée à date.